오징어 게임 징검다리 건너기 참가자별 성공 확률 1 (계산)

November 14, 2021

넷플릭스 드라마 “오징어 게임” 의 5번째 게임은 “징검다리 건너기” 입니다. 18쌍의 강화유리와 일반유리로 이루어진 징검다리를 참가자 16명이 차례로 건너는 게임입니다.

변수가 없는 상황(유리 장인 X, 기억 못하는 경우 X)에서 각 참가자별로 성공할 확률이 얼마나 되는지 계산해보겠습니다.

참가자 수와 확률

참가자 수에 상관 없이 N번째 참가자의 성공 확률은 동일합니다. 참가자 번호가 증가할 수록 성공 확률이 증가하다가 19번째 참가자 부터는 무조건 성공하게 됩니다. 오징어 게임에서는 참가자가 16명 이었지만 19번 참가자까지의 성공 확률을 계산해보겠습니다.

전체 경우의 수를 계산해봅시다. 각각의 유리는 깨지거나, 깨지지 않거나 두가지 경우의 수를 갖고 있습니다. 총 18쌍의 유리가 존재하므로 전체 경우의 수는 2^18 = 262,144 가 됩니다.

첫번째 참가자가 성공할 경우의 수는 18개의 유리가 모두 깨지지 않을 경우입니다. 이는 18C0, 즉 1입니다.

두번재 참가자가 성공할 경우의 수는 첫번째 참가자가 성공할 확률 + 유리가 1개만 깨질 경우 즉, 18C0 + 18C1 = 19 입니다.

마찬가지로 세번째 참가자가 성공할 확률은 18C0 + 18C1 + 18C2 = 172 가 됩니다.

…

19번째 참가자가 성공할 경우의 수는 18C0 + 18C1 + … + 18C18 = 262,144 입니다. (전체 경우의 수와 같습니다!)

위에서 구한 경우의 수를 바탕으로 각 참가자별 성공 확률을 계산해 보았습니다.

참가자 번호	경우의 수(18Cn)	누적(Σ18Cn)	성공확률
1	1	1	0.000381%
2	18	19	0.00725%
3	153	172	0.0656%
4	816	988	0.377%
5	3060	4048	1.544%
6	8568	12616	4.813%
7	18564	31180	11.894%
8	31824	63004	24.034%
9	43758	106762	40.726%
10	48620	155382	59.274%
11	43758	199140	75.966%
12	31824	230964	88.106%
13	18564	249528	95.187%
14	8568	258096	98.456%
15	3060	261156	99.623%
16	816	261972	99.934%
17	153	262125	99.993%
18	18	262143	99.9996%
19	1	262144	100%

각 참가자가 본인부터 성공할 확률은 유리가 (본인의 순서 - 1)개 깨질 확률과 같습니다. 이는 성공확률이 1/2 이고, 시행 횟수가 18(유리의 개수)인 이항분포를 따릅니다.

따라서 각 참가자가 성공할 확률은 확률이 1/2 이고, 시행 횟수가 18인 이항분포의 누적합입니다.